평균변화율에서 미분까지

오늘은 선형대수를 지나 평균변화율, 순간변화율, 미분을 배웠다.

이번에 가장 먼저 다시 잡은 건 함수의 의미였다. 함수는 하나의 입력이 들어오면 하나의 출력이 정해지는 관계다. 예를 들어 $y = 3x + 6$이라는 식이 있으면 $y$는 $x$에 따라 결정되고, 이를 $f(x) = 3x + 6$처럼 쓸 수 있는데, 입력이 꼭 하나일 필요는 없고 $f(x, y) = x + 2y$처럼 입력이 여러 개인 함수도 있다.

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기울기는 결국 변화율이다. 직선 $y = 2x + 1$에서 기울기 2는 $x$가 1만큼 늘어날 때 $y$가 2만큼 늘어난다는 뜻. 두 점을 잡으면 기울기는 $y$의 변화량 / $x$의 변화량으로 계산할 수 있다.

$$\text{기울기} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

여기서 살짝 궁금했던 건 순서였다. 꼭 $x_2 - x_1$을 분모로 두어야 할까. 결론은 순서만 맞추면 상관없다. 분모를 $x_1 - x_2$로 잡으면 분자도 $y_1 - y_2$로 잡아야 한다.

$$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{-(y_2 - y_1)}{-(x_2 - x_1)} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

중요한 건 어느 방향으로 뺄지 일관되게 정하는 것이다. 한쪽만 순서를 바꾸면 부호가 달라지지만, 분자와 분모를 같은 방향으로 맞추면 같은 기울기가 나온다.

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직선은 어느 지점에서 재도 기울기가 일정하지만, 곡선은 그렇지 않다. $y = x^2 - 2x + 1$ 같은 곡선은 위치마다 휘어진 정도가 다르기 때문에 전체를 대표하는 하나의 기울기를 말하기 어렵다. 그래서 특정 지점에서의 기울기, 즉 접선의 기울기를 구해야 한다.

문제는 기울기를 구하려면 원래 점이 두 개 필요하다는 점이다. 점 하나에서의 기울기를 구하려면 일단 곡선 위의 두 점을 잡고 평균변화율을 구한 뒤, 두 점 사이의 간격을 점점 줄여야 한다.

$$\text{평균변화율} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

처음에는 이 식이 괜히 어렵게 보였는데, 뜯어보면 앞에서 본 $\Delta y / \Delta x$와 같다. $y$가 $f(x)$로 표현되니까 $y_2$ 대신 $f(b)$, $y_1$ 대신 $f(a)$를 쓴 것뿐이다.

그다음 강의에서는 $b$를 $a + h$로 바꿔서 썼다.

$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

이렇게 바꾸는 이유도 결국 두 점 사이의 간격을 다루기 위해서였다. $b - a$라는 거리 자체를 $h$라고 두면, 두 점을 겹치게 만드는 과정을 $h$를 0에 가깝게 보낸다는 말로 표현할 수 있다. $h$가 0에 가까워질수록 평균변화율은 특정 지점의 순간변화율에 가까워진다.

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

이게 미분의 핵심이었다. 점 하나에서 갑자기 기울기를 꺼내는 게 아니라, 두 점 사이의 평균변화율을 계속 좁혀서 한 지점의 변화율로 보내는 과정이다.

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실제로 $f(x) = x^2 - 2x + 1$에서 $x = 2$일 때의 순간변화율을 구해보면, 식을 정리한 뒤 $h$를 0으로 보내면서 기울기가 2로 나온다. 특정 값 하나를 넣는 대신 $x$를 그대로 둔 채 계산하면 $2x - 2$라는 식이 나오는데, 이것이 미분함수, 즉 도함수(Derivative)다. 원래 함수인 f(x)로부터 유도된 함수라는 뜻.

$$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ $$f'(x) = 2x - 2$$

도함수가 있으면 매번 극한 과정을 처음부터 풀지 않아도 된다. $x = 2$에서의 기울기가 궁금하면 $2x - 2$에 2를 넣으면 되고, $x = 5$에서의 기울기가 궁금하면 5를 넣으면 된다. 원래 함수가 위치별 값을 알려준다면, 도함수는 위치별 변화율을 알려주는 함수라고 볼 수 있다.

표기법에도 궁금한점이 있었다. 처음에는 $\frac{df(x)}{dx}$나 $\frac{d f(x)}{dx}$가 갑자기 튀어나온 기호처럼 보였는데, 뜻을 풀어보면 앞에서 계속 봤던 변화량 표기와 연결되어 있었다. $\Delta x$와 $\Delta y$는 실제로 떨어져 있는 두 점 사이의 변화량이고, 여기서 $\Delta$는 “유한한 차이”라고 볼 수 있다고 한다. 그런데 두 점 사이의 간격을 계속 줄여서 거의 0에 가까운 아주 작은 변화로 보내면, 그때는 $\Delta$ 대신 $d$를 써서 $\frac{dy}{dx}$처럼 적는다.

그래서 $\frac{dy}{dx}$는 단순한 분수라기보다, $x$가 아주 조금 변할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 표기라고 이해하면 된다. $\frac{d f(x)}{dx}$도 같은 흐름이다. 함수 $f(x)$의 값을 $y$로 본다면, 결국 $f(x)$의 아주 작은 변화량을 $x$의 아주 작은 변화량으로 나누어 보겠다는 뜻이고, 그래서 이 함수를 $x$에 대해서 미분한다고 말한다.

미분 공식 자체는 익숙했다. 다항함수에서는 차수를 앞으로 내리고, 차수를 하나 줄이면 된다.

$$x^2 \to 2x$$ $$-2x \to -2$$ $$1 \to 0$$

상수항이 사라지는 이유도 공식으로만 보면 $x^0$의 차수 0이 앞으로 내려오기 때문이지만, 직관적으로 봐도 자연스럽다. 미분은 변화율을 보는 일이고, 상수는 변하지 않는다. 변하지 않는 값의 변화율은 0이다.

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예전에는 막연하게 넘어갔던 부분을 확실히 짚어서 정리하고 넘어가니 재미가 있는 것 같다.